Дзета-функция Римана

Однако, под функцией понимают закон, правило, по которому каждому элементу какого-то множества X ставится в соответствие один или несколько элементов множества Y . Элементы множества X называются аргументами, а множества Y – значениями функции. Если каждому аргументу соответствует одно значение, функция называется однозначной, если более одного – то многозначной.

Синонимом функции является термин «отображение». В простейшем случае множество X может быть подмножеством поля действительных R или комплексных C чисел. Тогда функция называется числовой. Нам будут встречаться только такие отображения.

Функции могут быть заданы многими различными способами: словесным, графическим, с помощью формулы.

Функция, которую мы будем рассматривать в этой работе, задаётся через бесконечный ряд. Но, несмотря на такое нестандартное определение, по своему представлению в виде ряда она может быть хорошо изучена методами теории рядов и плодотворно применена к различным теоретическим и прикладным вопросам математики и смежных с ней наук.

Конечно же, речь идёт о знаменитой дзета-функции Римана, имеющей широчайшие применения в теории чисел.

Впервые ввёл её в науку великий швейцарский математик и механик Леонард Эйлер и получил многие её свойства. Далее активно занимался изучением дзета-функции немецкий математик Бернгард Риман. В честь него она получила своё название, так как он опубликовал несколько исключительно выдающихся работ, посвящённых этой функции. В них он распространил дзета-функцию на область комплексных чисел, нашёл её аналитическое продолжение, исследовал количество простых чисел, меньших заданного числа, дал точную формулу для нахождения этого числа с участием функции и высказал свою гипотезу о нулях дзета-функции, над доказательством или опровержением которой безрезультатно бьются лучшие умы человечества уже почти 150 лет.

Научная общественность считала и считает решение этой проблемы одной из приоритетных задач. Так Давид Гильберт, выступавший на Международной Парижской математической конференции 1900 году с подведением итогов развития науки и рассмотрением планов на будущее, включил гипотезу Римана в список 23 проблем, подлежащих решению в новом столетии и способных продвинуть науку далеко вперёд. А на рубеже веков, в 2000 году американский The Clay Mathematics Institute назвал семь задач, за решение каждой из которых будет выплачен 1 миллион долларов. В их число также попала гипотеза Римана. Таким образом, даже бы поверхностное знакомство с дзета-функцией будет и интересным, и полезным. Глава 1. Итак, приступим к изучению этой важной и интересной дзета-функции Римана. В данной главе мы получим некоторые свойства функции в вещественной области, исходя из её определения с помощью ряда.

Определение. Дзета-функцией Римана ( s ) называют функцию, которая любому действительному числу s ставит в соответствие сумму ряда (1) если она существует.

Основной характеристикой любой функции является область определения. Найдём её для нашей функции. Пусть сначала s 0, тогда s = t , где t принадлежит множеству неотрицательных действительных чисел R + и ряд (1) обращается в ряд t >0, так и при t =0. То есть значения s 0 не входят в область определения функции.

Теперь пусть s >0. Для исследования сходимости ряда (1) воспользуемся интегральным признаком Коши. При каждом s рассмотрим функцию , которая является на промежутке непрерывной, положительной и монотонно убывающей.

Возникает три различных возможности: 1) 0 s 2) s =1. Получаем s =1 дзета-функция Римана также не определена; 3) s >1 . В этом случае Обобщив результаты, находим, что область определения дзета-функции есть промежуток Докажем непрерывность функции ( s ) на области определения. Возьмём произвольное число s 0 >1. Перепишем ряд (1) в виде сходится, а функции при s > s 0 монотонно убывают и все вместе ограничены единицей.

Значит, по признаку Абеля для s > s 0 ряд (1) сходится равномерно.

Используя теорему о непрерывности суммы функционального ряда, получаем, что в любой точке s > s 0 дзета-функция непрерывна. Ввиду произвольности s 0 ( s ) непрерывна на всей области определения.

Теперь почленным дифференцированием ряда (1), пока формально, найдём производную дзета-функции Римана: (2). Чтобы оправдать этот результат, достаточно удостовериться в том, что ряд (2) равномерно сходится на промежутке и воспользоваться теоремой о дифференцировании рядов.

Используем тот же приём.

Зафиксируем любое s 0 >1 и представим ряд (2) в виде для s > s 0 . Множители n =2, монотонно убывают, оставаясь ограниченными числом ln 2. Поэтому по признаку Абеля ряд (2) сходится равномерно при s > s 0 , а значит и при любом s >1. Какое бы значение s >1 ни взять его можно заключить между и применима вышеуказанная теорема. Таким же путём можно убедиться в существовании для дзета-функции производных всех порядков и получить их выражения в виде рядов: Попытаемся построить наглядное изображение функции в виде графика. Для этого изучим сначала её поведение на бесконечности и в окрестности точки s =1. В первом случае, ввиду равномерной сходимости ряда (1), по теореме о почленном переходе к пределу, имеем n =1 предел равен единице, остальные пределы равны нулю.

Поэтому Чтобы исследовать случай Во-первых, известно, что если для ряда существует непрерывная, положительная, монотонно убывающая функция оценивается так: Применяя вышесказанное к ряду (1), найдём, что необходимая функция и (3). В левом неравенстве положим n =0, тогда n =1 и получим и, наконец, к пределу при Отсюда, в частности, следует, что Можно, однако, получить ещё более точный результат для оценки поведения дзета-функции в окрестности единицы, чем приведённые выше, принадлежащий Дирихле. Будем отталкиваться от очевидного при произвольном n равенства и вычтем s стремится к единице. По правилу Лопиталя легко вычислить и при n возьмём C ( C 0,577). Значит Найденные выше пределы позволяют получить лишь приблизительное представление о виде графика дзета-функции.

Сейчас мы выведем формулу, которая даст возможность нанести на координатную плоскость конкретные точки, а именно, определим значения k – натуральное число. Возьмём известное разложение - знаменитые числа Бернулли (по сути, через него эти числа и определяются). Перенесём слагаемое в левую часть равенства. Слева получаем cth , а в правой части - cth . Заменяем на , получаем cth . С другой стороны, существует равенство cth , из которого cth . Подстановкой вместо находим cth . Если N и по теореме о сложении бесконечного множества степенных рядов cth Приравняем полученные разложения: (4), где - k -е число Бернулли. Она удобна тем, что эти числа хорошо изучены и для них составлены обширные таблицы.

Теперь, исходя из полученных результатов, можно построить эскиз графика дзета-функции Римана, достаточно хорошо отражающий её поведение на всей области определения. Леонард Эйлер, впервые рассмотревший дзета-функцию, получил замечательное разложение её в бесконечное произведение, которое иногда тоже принимают за определение: p i – i -е простое число (4). Докажем тождественность ряда (1) и произведения (4). Вспомнив формулу суммы геометрической прогрессии, получаем равенство Если перемножить конечное число таких рядов, отвечающих всем простым числам, не превосходящим заданного натурального числа N , то получившееся частичное произведение окажется равным символ * означает, что суммирование распространяется не на все натуральные числа, а лишь на те из них (не считая единицы), которые в своём разложении содержат только простые числа меньшие N . Так как первые N натуральных чисел этим свойством обладают, то (5). Сумма содержит не все числа, большие N +1, поэтому, очевидно, (6). Ввиду сходимости ряда (1), выражение справа, представляющее его остаток после N -го члена, стремится к нулю при N стремящимся к бесконечности, а есть произведение (4). Значит из неравенства при , что и требовалось доказать.

Формула (4) важна потому, что она связывает натуральный ряд, представленный множеством значений аргумента дзета-функции, со множеством простых чисел. Ещё один шаг в этом направлении мы сделаем, оценив остаётся ограниченным при Из (4) следует, что N , а при . Возьмём логарифм от обеих частей равенства, тогда N к бесконечности, имеем так как На этом закончим изложение свойств дзета-функции Римана для действительного аргумента, так как наибольший теоретический и прикладной интерес представляет случай изложенный во второй главе. Глава 2. Все результаты первой главы, касающиеся дзета-функции Римана, были получены в предположении, что её аргумент s – действительное число.

Однако, самые выдающиеся исследования и многочисленные важные приложения стали возможны лишь после включения в область определения функции комплексных чисел.

Впервые рассмотрел дзета-функцию как функцию мнимого аргумента немецкий математик Бернгард Риман, глубоко изучивший её свойства и широко применявший её в теории чисел. В честь него функция получила своё название. Для комплексной дзета-функции остаётся в силе определение, данное в главе 1, с тем лишь изменением, что теперь там будет C . Возникает необходимость найти новую область определения. С этой целью докажем следующее утверждение: в полуплоскости ( действительная часть числа x ) ряд (1) сходится абсолютно. Пусть при >1, имеем абсолютную сходимость ряда (1). На своей области определения дзета-функция аналитична.

Действительно, при всяком q >0 и фиксированном >1+ q , числовой ряд мажорирует ряд из абсолютных величин в полуплоскости Нетрудно показать, что все полученные для дзета-функции формулы без изменений переносятся на случай комплексного аргумента.

Доказательства претерпевают незначительные преобразования, связанные с переходом к абсолютным величинам. В связи с этим замечанием становится возможным использовать разложение дзета-функции в произведение s теперь любое комплексное число, такое, что корней.

Оценим величину Вопрос о нулях дзета-функции, а также другие прикладные вопросы получают новые широкие возможности для исследования, если распространить её на всю комплексную плоскость.

Поэтому, сейчас мы одним из многих возможных способов найдём аналитическое продолжение дзета-функции и выведем её функциональное уравнение, характеризующее и однозначно определяющее Для этого нам понадобится формула (2), которая выводится следующим образом.

Используя свойства интегралов можно записать d при значит и можно найти интегрированием по частям, принимая Теперь положим в (2) a и b – целые положительные числа. Тогда a =1, а b устремим к бесконечности.

Получим (3). Выражение является ограниченным, так как абсолютно интегрируема на промежутке при абсолютно сходится при s , регулярную при и имеет там лишь один простой полюс в точке с вычетом, равным единице. Для можно преобразовать выражение (3) дзета-функции. При имеем и (3) может быть записано в виде Немного более сложными рассуждениями можно установить, что в действительности (3) даёт аналитическое продолжение дзета-функции на полуплоскость первообразная для ограничена, так как и ограничен из-за того, что при x 1 > x 2 и потому что является ограниченной функцией.

Значит, (4). Пользуясь абсолютной сходимостью интеграла Нетрудно установить, что для отрицательных (5) при Из теории рядов Фурье известно, что для нецелых значений x справедливо разложение в ряд (6). Подставим его в равенство (5) и проинтегрируем ряд почленно: Итак, мы получили функциональное уравнение дзета-функции Римана (7), которое само по себе может служить средством изучения этой функции, так как вполне характеризует её, в том смысле, что любая другая функция Пока, правда, как следует из рассуждений, мы доказали формулу (7) для s и при Чтобы доказательство было строгим, мы должны ещё обосновать почленное интегрирование.

Поскольку ряд (6) сходится почти всюду и его частичные суммы остаются ограниченными, почленное интегрирование на любом конечном отрезке допустимо. Ввиду для любого при имеем Функциональное уравнение дзета-функции (7) может быть записано многими способами.

Например, заменим s на 1- s , получаем равносильное равенство (8). Из него можно получить два небольших следствия.

Подставим в (8) вместо s число 2 m , где m – натуральное число. Имеем и произведя в правой части все сокращения, учитывая, что Покажем ещё, что и результат продифференцируем s =1 , С – постоянная Эйлера, а k – произвольная постоянная.

Следовательно, устремляя s к единице, получим k =0 Глава 3. Как уже было сказано, дзета-функция Римана широко применяется в математическом анализе.

Однако наиболее полно важность её выявляется в теории чисел, где она оказывает неоценимую помощь в изучении распределения простых чисел в натуральном ряду. К сожалению, рассказ о серьезных и нетривиальных применениях дзета-функции Римана выходит за рамки этой работы. Но чтобы хотя бы немного представить мощь этой функции, докажем с её помощью несколько интересных утверждений.

Например, известно, что простых чисел бесконечно много. Самое знаменитое элементарное доказательство принадлежит Евклиду. Оно состоит в следующем.

Предположим, что существует конечное число простых чисел, обозначим их p 1 , p 2 , … , p n . Рассмотрим число p 1 p 2 … p n +1, оно не делится ни на одно из простых и не совпадает ни с одним из них, то есть является простым числом, отличным от вышеуказанных, что противоречит предположению.

Значит, количество простых чисел не может быть конечным.

Другое доказательство этого факта, использующее дзета-функцию, было дано Эйлером.

Рассмотрим данное в первой главе равенство (5) при s =1, получим и ввиду расходимости гармонического ряда, имеем при (1). Если бы количество простых чисел было конечным, то и это произведение имело конечное значение.

Однако, полученный результат свидетельствует об обратном.

Доказательство завершено.

Теперь перепишем (1) в виде расходится. Это предложение даёт некоторую характеристику роста простых чисел.

Подчеркнём, что оно гораздо сильнее утверждения о расходимости гармонического ряда, так как здесь речь идёт лишь о части его членов, тем более что в натуральном ряде имеются сколь угодно длинные промежутки без простых чисел, например: Несмотря на свою простоту приведённые выше предложения важны в концептуальном плане, так как они начинают череду исследований всё более и более глубоких свойств ряда простых чисел, которая продолжается по сей день.

Первоначально, основной целью изучения дзета-функции как раз и было исследование функции x . В качестве примера формулы, связывающей и (2). Сначала воспользуемся разложением дзета-функции в произведение: Теперь вычислим интеграл в правой части (2). Так как при и и Используем формулу (2) для доказательства одной очень серьёзной и важной теоремы, а именно получим асимптотический закон распределения простых чисел, то есть покажем, что В качестве исторической справки отмечу, что великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс эмпирически установил эту закономерность ещё в пятнадцатилетнем возрасте, когда ему подарили сборник математических таблиц, содержащий таблицу простых чисел и таблицу натуральных логарифмов. Для доказательства возьмём формулу (2) и попытаемся разрешить это уравнение относительно (3). Этот интеграл имеет нужную форму, а не повлияет на асимптотику сходится равномерно в полуплоскости регулярна и ограничена в полуплоскости Мы могли бы уже применить формулу Меллина, но тогда было бы весьма затруднительно выполнить интегрирование.

Поэтому прежде преобразуем равенство (3) следующим образом.

Дифференцируя по s , получаем и положим и полагаем равными нулю при при Но непрерывна и имеет ограниченную вариацию на любом конечном интервале, а так как ( ( абсолютно интегрируема на при при при ограниченна при и можно положить ограниченна при и имеет логарифмический порядок при имеет при лишь логарифмическую особенность.

Следовательно, (4). Чтобы перейти обратно к Пусть положительна и не убывает и пусть при Действительно, если - данное положительное число, то ( не убывает, то Аналогично, рассматривая Применяя лемму, из (4) имеем, что и теорема доказана. Для ознакомления с более глубокими результатами теории дзета-функции Римана могу отослать заинтересованного читателя к прилагаемому списку использованной литературы.

оценка стоимости товарного знака в Орле
оценка ущерба экспертиза в Брянске
оценка недвижимости для наследства в Смоленске