Операторы в вейвлетном базисе

Вейвлет-представление сигналов (функций времени) является промежуточным между полностью спектральным и полностью временным представлениями.

Компактные волны относительно независимо были предложены в квантовой физике, физике электромагнитных явлений, математике, электронике и сейсмогеологии.

Междисциплинарные исследования привели к новым приложениям данных методов, в частности, в сжатии образов для архивов и телекоммуникаций, в исследованиях турбулентности, в физиологии зрительной системы, в анализе радарных сигналов и предсказании землетрясений. К сожалению, объем русскоязычной научной литературы по тематике вейвлет-преобразований (да и нейронных сетей) относительно невелик.

Базовая идея восходит к временам 200-летней давности и принадлежит Фурье: аппроксимировать сложную функцию взвешенной суммой простых функций, каждая из которых, в свою очередь, получается из одной функции-прототипа. Эта функция-прототип выполняет роль строительного блока, а искомая аппроксимация получается комбинированием одинаковых по структуре блоков. При этом, если 'хорошая' аппроксимация получается при использовании небольшого числа блоков, то тем самым достигается значительное уплотнение информации. В качестве таких блоков Фурье использовал синусоиды с различными периодами. Что прежде всего отличает вейвлет-анализ от анализа Фурье? Основным недостатком Фурье-преобразования является его 'глобальная' чувствительность к 'локальным' скачкам и пикам функции. При этом модификация коэффициентов Фурье (например, обрезание высоких гармоник с целью фильтрации шума) вносит одинаковые изменения в поведение сигнала на всей области определения. Это особенность оказывается полезной для стационарных сигналов, свойства которых в целом мало меняются со временем. При исследовании же нестационарных сигналов требуется использование некоторых локализованных во времени компактных волн, коэффициенты разложения по которым сохраняют информацию о дрейфе параметров аппроксимируемой функции.

Первые попытки построения таких систем функций сводились к сегментированию сигнала на фрагменты ('окна') с применением разложения Фурье для этих фрагментов.

Соответствующее преобразование - оконное преобразование Фурье - было предложено в 1946-47 годах Jean Ville и, независимо, Dennis Gabor. В 1950-70-х годах разными авторами было опубликовано много модификаций времени-частотных представлений сигналов. В конце 70-х инженер-геофизик Морли (Jean Morlet) столкнулся с проблемой анализа сигналов, которые характеризовались высокочастотной компонентой в течение короткого промежутка времени и низкочастотными колебаниями при рассмотрении больших временных масштабов.

Оконные преобразования позволяли проанализировать либо высокие частоты в коротком окне времени, либо низкочастотную компоненту, но не оба колебания одновременно. В результате был предложен подход, в котором для различных диапазонов частот использовались временные окна различной длительности.

Оконные функции получались в результате растяжения-сжатия и смещения по времени гаусиана. Морли назвал эти базисные функции вейвлетами (wavelets) - компактными волнами. В дальнейшем благодаря работам Мейера (Yves Meyer), Добеши (Ingrid Daubechies), Койфмана (Ronald Coifman), Маллы (Stephane Mallat) и других теория вейвлетов приобрела свое современное состояние. Среди российских ученых, работавших в области теории вейвлетов, необходимо отметить С.Б. Стечкина, И.Я. Новикова, В.И. Бердышева. 1. МНОГОМАСШТАБНЫЙ АНАЛИЗ И ВЕЙВЛЕТЫ Определение 1. Многомасштабный анализ ( multiresolutional analysis ) – разложение гильбертова пространства L 2 ( R d ), d ³ 1, в последовательность замкнутых подпространств (1.1) обладающих следующими свойствами: 1. , и полно в L 2 ( R d ), 2. Для любого f L 2 ( R d ), для любого j Z , f ( x ) V j тогда и только тогда, когда f (2 x ) V j -1 , 3. Для любого f L 2 ( R d ), для любого k Z d , f ( x ) V 0 тогда и только тогда, когда f ( x - k ) V 0 , 4. Существует масштабирующая ( scaling ) функция j V 0 , что { j ( x - k )} k Z d образует базис Ритца в V 0 . Для ортонормальных базисов можно переписать свойство 4 в виде: 4’. Существует масштабирующая функция j V 0 , что { j ( x - k )} k Z d образует ортонормальный базис в V 0 . Определим подпространство W j как ортогональное дополнение к V j в V j -1 , (1.2) и представим пространство L 2 ( R d ) в виде прямой суммы (1.3) Выбирая масштаб n , можем заменить последовательность (1.1) следующей последовательностью: (1.4) и получить (1.5) Если имеем конечное число масштабов, то, не нарушая общности, можно положить j =0 и рассматривать V 0 L 2 ( R d ) (1.6) вместо (1.4). В числовой реализации подпространство V 0 конечномерно.

Функция j - так называемая масштабирующая (скейлинг-) функция. С ее помощью можно определить функцию y - вейвлет - такую, что набор { y ( x - k )} k Z образует ортонормальный базис в W 0 . Тогда m =0.. M -1. (1.7) Из свойства 4’ непосредственно следует, что, во-первых, функция j может быть представлена в виде линейной комбинации базисных функций пространства V -1 . Так как функции { j j , k ( x )=2 - j /2 j (2 - j x - k )} k Z образуют ортонормальный базис в V j , то имеем (1.8) Вообще говоря, сумма в выражении (1.8) не обязана быть конечной. Можно переписать (1.8) в виде (1.9) где (1.10) а 2 p -периодическая функция m 0 определяется следующим образом: (1.11) Во-вторых, ортогональность { j ( x - k )} k Z подразумевает, что (1.12) и значит (1.13) и (1.14) Используя (1.9), получаем (1.15) и, рассматривая сумму в (1.15) по четным и нечетным индексам, имеем (1.16) Используя 2 p -периодичность функции m 0 и (1.14), после замены x /2 на x , получаем необходимое условие (1.17) для коэффициентов h k в (1.11). Заметив, что (1.18) и определив функцию y следующим образом: (1.19) где k =0,…, L -1 , (1.20) или преобразование Фурье для y (1.21) где (1.22) можно показать, что при каждом фиксированном масштабе j Z вейвлеты { y j , k ( x )=2 - j /2 y (2 - j x - k )} k Z образуют ортонормальный базис пространства W j . Равенство (1.17) определяет пару квадратурных зеркальных фильтров (quadrature mirror filters, QMF ) H и G , где и QMF H и G вычисляются с помощью решения системы алгебраических уравнений. Число L коэффициентов фильтра в (1.11) и (1.22) связано с числом исчезающих моментов М, и всегда четно.

Выбранный фильтр Н полностью определяет функции j и y и, таким образом, многомасштабный анализ. Кроме того, в правильно построенных алгоритмах значения функций j и y почти никогда не вычисляются.

Благодаря рекурсивному определению вейвлетного базиса, все операции проводятся с квадратурными зеркальными фильтрами H и G , даже если в них используются величины, связанные с j и y . 4. ОПЕРАТОРЫ Сжатие операторов или, другими словами, представление их в разреженном виде в ортонормированном базисе непосредственно влияет на скорость вычислительных алгоритмов.

Нестандартная форма оператора Т с ядром K ( x , y ) достигается вычислением следующих выражений: (4.1) (4.2) (4.3) 4.1 Оператор d / dx в вейвлетном базисе Нестандартные формы некоторых часто используемых операторов могут быть вычислены явно.

Построим нестандартную форму оператора d / dx . Матричные элементы матриц и матрицы i , l , j Z для оператора d / dx легко вычисляются как (4.4) (4.5) (4.6) (4.7) где (4.8) (4.9) (4.10) (4.11) Кроме того, используя (1.8) и (1.19), имеем (4.12) (4.13) (4.14) Таким образом представление d / dx полностью определяется величинами или, другими словами, отображением d / dx на подпространство V 0 . Предложение 4.1. 1. Если существует интеграл (4.11), тогда коэффициенты l Z в (5.8) удлвлетворяют следующей системе линейных алгебраических уравнений: (4.15) (4.16) где (4.17) 2. Если а именно с и Замечание. Если М=1, тогда система (4.15)-(4.16) имеет единственное решение, но интеграл (4.11) может не быть абсолютно сходящимся. Для базиса Хаара ( мы получаем простейший конечный дифференциальный оператор Замечание 2. Заметим, что выражения (4.12) и (4.13) для и ( и особенно просто: Для доказательства Предложения 4.1 можно обратиться к [2]. Для решения системы (4.15)-(4.16) можно также воспользоваться итерационным алгоритмом.

Начать можно с и 4.2 Оператор d n / dx n в вейвлетном базисе Так же как и для оператора d / dx , нестандартная форма оператора d n / dx n полностью определяется своим отображением на подпространство V 0 , т.е. коэффициентами l Z , (4.18) если интеграл существует.